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Action

그림을 그리자

함수 \( f(x) \)는 다음 조건을 만족한다:

  • \( f(x) = x \) on \( [0,1] \)
  • \( f(x+1) – x f(x) = ax + b \) on \( [0, \infty) \)

이때 \( 60 \cdot \int_1^2 f(x) dx \) 값을 구하라.

  • 주어진 함수 조건을 이용해 \( f(x) \)의 정의를 \( [1,2] \) 구간까지 확장.
  • 이를 이용해 적분을 구한 후 60을 곱해 결과 도출.
  1. 조건:
    \( f(x+1) – x f(x) = ax + b \)
  2. \( f(x) = x \) on \( [0,1] \) → \( f(0) = 0, f(1) = 1 \)
  3. \( x = 0 \) 대입:
    \( f(1) = b \Rightarrow b = 1 \)
  4. \( f(x+1) = x f(x) + ax + 1 \)
  5. \( f(x) = x^2 + ax + 1 \) on \( [1,2] \)
  6. 함수 연속성을 고려해 도함수 연결:
    \( f'(x) = 2x + a \) on \( [1,2] \)
  7. \( f'(1) = 1 \Rightarrow 2(1) + a = 1 \Rightarrow a = -1 \)
  8. 따라서 \( f(x) = x^2 – x + 1 \)
  9. 적분:
    \( \int_1^2 f(x) dx = \int_1^2 (x^2 – x + 1) dx = \left[\frac{1}{3}x^3 – \frac{1}{2}x^2 + x\right]_1^2 = \left(\frac{8}{3} – 2 + 2\right) – \left(\frac{1}{3} – \frac{1}{2} + 1\right) = \frac{11}{6} \)
  10. 최종 값:
    \( 60 \cdot \frac{11}{6} = \boxed{110} \)
  • 정답: 110
  • Tip: 조건에 따라 정의된 함수 확장은 대입으로 확인
  • Skill: 함수 재귀적 정의 확장, 구간별 적분, 연속성에 의한 도함수 연계