1. 지수함수 \(y = a^{x-1}\)는 \(y = a^x\)를 x축 방향으로 1만큼 평행이동
2. 로그함수 \(y = \log_a(x – 1)\)는 \(y = \log_a(x)\)를 x축 방향으로 1만큼 평행이동
3. 직선 \(y = -x + 4\), 기울기 -1인 직선

두 곡선과 직선의 교점은 대칭 관계에 있어,
직선 두 점 A, B의 중점 M의 좌표는
\(M = \left( \frac{5}{2}, \frac{3}{2} \right)\)
그리고 \(AB = 2\sqrt{2} \Rightarrow AM = \sqrt{2}\)

점 A 좌표를 \((k, -k + 4)\)라 하면,

\(\left( k – \frac{5}{2} \right)^2 + \left( -k + 4 – \frac{3}{2} \right)^2 = 2 \Rightarrow k = \frac{3}{2}\)
→ \(A = \left( \frac{3}{2}, \frac{5}{2} \right)\)

이 점은 지수함수 위에 있음 →
\(a^{\frac{3}{2} – 1} = \frac{5}{2} \Rightarrow \sqrt{a} = \frac{5}{2} \Rightarrow a = \frac{25}{4}\)

점 C: y축 위 지수함수 →

\(x = 0 \Rightarrow y = a^{-1} = \frac{4}{25} \Rightarrow C = \left( 0, \frac{4}{25} \right)\)

점 C에서 직선 \(y = -x + 4\)에 내린 수선의 발까지의 거리:

\[
\text{CH} = \frac{|-x + y + 4|}{\sqrt{2}} \Rightarrow \text{CH} = \frac{|-0 + \frac{4}{25} – 4|}{\sqrt{2}} = \frac{\left| \frac{-96}{25} \right|}{\sqrt{2}} = \frac{96}{25\sqrt{2}} = \frac{48\sqrt{2}}{25}
\]

넓이:

\[
S = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{2} \cdot \frac{48\sqrt{2}}{25} = \frac{96}{25} \Rightarrow 50 \cdot S = \boxed{192}
\]