Action
함수 \(f(x) = x^3 – 6x^2 + 5x\)에 대해,
\(x\)가 0에서 4까지 변할 때의 평균변화율을
도함수 \(f'(a)\)와 같게 만드는 \(a \in (0, 4)\)의 모든 값은
이차방정식의 해로 표현된다.
그 해가 \(a = \dfrac{q}{p}\) (기약분수)일 때, \(p + q\)를 구하라.
조건: \(f'(a) = \dfrac{f(4) – f(0)}{4 – 0}\)
이를 만족하는 \(a \in (0, 4)\)를 구해 그 값 중 기약분수 \(\frac{q}{p}\) 형태로 표현된 것의 \(p + q\)를 구하라.
① 평균변화율 계산
\(f(0) = 0,\quad f(4) = 4^3 – 6(4)^2 + 5(4) = 64 – 96 + 20 = -12\)
\(\Rightarrow \dfrac{f(4) – f(0)}{4} = \dfrac{-12}{4} = -3\)
즉, 문제는
\(f'(a) = -3\)인 \(a \in (0, 4)\)를 구하는 것
② 도함수와 등식 만들기
\(f'(x) = 3x^2 – 12x + 5\)
\(\Rightarrow f'(a) = -3 \Rightarrow 3a^2 – 12a + 5 = -3 \Rightarrow 3a^2 – 12a + 8 = 0\)
양변을 3으로 나누면:
\(a^2 – 4a + \dfrac{8}{3} = 0\)
이 이차방정식의 두 근이 문제에서 요구한 \(a\)의 값
그 중 하나는 \(\dfrac{8}{3}\)
→ 기약분수 \(\dfrac{8}{3}\)이므로 \(p = 3, q = 8\)
✅ 정답: \(\boxed{11}\) (\(p + q = 3 + 8 = 11\))
🧠 Skill: 평균변화율 = 도함수는 미적분에서 자주 쓰이는 연립 조건 문제
💡 Tip: 문제 구조는 “도함수의 값 = 평균변화율” → 도함수 식에 수치 대입해 방정식 풀기