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Action

등차수열, 등비수열은 쉽다. 새로운 수열은 진득하게 관찰하자

수열 \( \{a_n\} \)은 \( |a_1| \leq 1 \)을 만족하며 다음 조건부 점화식에 따라 정의된다:

a_{n+1} =
\begin{cases}
-2a_n – 2 & \text{if } -1 \leq a_n < -\frac{1}{2} \\ 2a_n & \text{if } -\frac{1}{2} \leq a_n \leq \frac{1}{2} \\ -2a_n + 2 & \text{if } \frac{1}{2} < a_n \leq 1 \end{cases}

추가 조건:

  • \( a_5 + a_6 = 0 \)
  • \( \sum_{k=1}^{5} a_k > 0 \)

위 조건을 만족하는 모든 \( a_1 \in [-1, 1] \)의 값을 구하고, 그들의 합을 구하라.

▶ Step 1. 조건 \( a_5 + a_6 = 0 \)를 활용해 \( a_5 \) 범위별로 분석

  1. \( -1 \leq a_5 < -\frac{1}{2} \Rightarrow a_6 = -2a_5 – 2 \)
    → \( a_5 + a_6 = a_5 – 2a_5 – 2 = -a_5 – 2 = 0 \Rightarrow a_5 = -2 \)
    → \( |a_5| > 1 \) → ❌ 조건 위배
  2. \( -\frac{1}{2} \leq a_5 \leq \frac{1}{2} \Rightarrow a_6 = 2a_5 \)
    → \( a_5 + a_6 = a_5 + 2a_5 = 3a_5 = 0 \Rightarrow a_5 = 0 \)
    ⟹ 유효한 경우는 \( a_5 = 0 \)
  3. \( \frac{1}{2} < a_5 \leq 1 \Rightarrow a_6 = -2a_5 + 2 \)
    → \( a_5 + a_6 = a_5 – 2a_5 + 2 = -a_5 + 2 = 0 \Rightarrow a_5 = 2 \)
    → \( |a_5| > 1 \) → ❌ 조건 위배

⟹ 따라서 \( a_5 = 0 \)만 유효

▶ Step 2. \( a_5 = 0 \)에서 역으로 \( a_4 \to a_3 \to a_2 \to a_1 \) 추적

점화식에 따라 \( a_4 \in \{-1, 0, 1\} \) 중 선택 가능 (역함수 정의)

◉ Case 1: \( a_4 = -1 \)

  • \( a_3 = \frac{1}{2} a_4 = -\frac{1}{2} \)
  • \( a_2 = \frac{1}{2} a_3 = -\frac{1}{4} \)
  • \( a_1 = \frac{1}{2} a_2 = -\frac{1}{8} \)
  • → \( \sum a_1 \sim a_5 < 0 \) → ❌ 조건 위배

◉ Case 2: \( a_4 = 0 \)

  • 분기 1: \( a_3 = -1 \Rightarrow a_2 = -\frac{1}{2},\ a_1 = -\frac{1}{4} \) → 합 < 0 → ❌
  • 분기 2: \( a_3 = 0 \Rightarrow a_2 = 0,\ a_1 = 1 \) 또는 \( a_2 = 1,\ a_1 = \frac{1}{2} \) → 조건 만족 ✅
  • 분기 3: \( a_3 = 1 \Rightarrow a_2 = \frac{1}{2},\ a_1 = \frac{1}{4} \) 또는 \( a_1 = \frac{3}{4} \) ✅

◉ Case 3: \( a_4 = 1 \)

  • \( a_3 = \frac{1}{2} \Rightarrow a_2 = \frac{1}{4} \Rightarrow a_1 = \frac{1}{8},\ \frac{7}{8} \)
  • \( a_2 = \frac{3}{4} \Rightarrow a_1 = \frac{3}{8},\ \frac{5}{8} \)
  • → 모두 \( |a_1| \leq 1 \), \( \sum > 0 \), \( a_5 + a_6 = 0 \) 만족 ✅

▶ Step 3. 가능한 \( a_1 \) 값 정리

\( a_1 \in \left\{ 1,\ \frac{1}{2},\ \frac{1}{4},\ \frac{3}{4},\ \frac{1}{8},\ \frac{7}{8},\ \frac{3}{8},\ \frac{5}{8} \right\} \)

합: \( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{3}{4} + \frac{1}{8} + \frac{7}{8} + \frac{3}{8} + \frac{5}{8} = \frac{9}{2} \)

✅ 정답: ① \( \frac{9}{2} \)

🧠 Skill 요약

  • 점화식 조건을 활용해 \( a_5 \)를 중심으로 역추적
  • 가능한 이전 항들의 역함수 형태를 구간별로 판단
  • 모든 조건 (절댓값, 수열합, 특정항의 합) 충족 여부 분석

💡 Tip: 조건이 뒷부분에 주어졌을 때는 앞에서 전개하는 것보다 역방향 추적이 빠르고 안정적이다.

역함수 분기를 기준으로 가능한 케이스를 완전 분류하면 실수 없이 풀이 가능하다.