Action
다항함수 \( f(x) \)가 식 \( x f(x) = 2x^3 + ax^2 + 3a + \int_1^x f(t)dt \)를 만족. \( f(1) = \int_0^1 f(t)dt \). 이때 \( a + f(3) \) 값을 구하는 문제.
주어진 식을 미분해 \( f(x) \)를 구하고, 조건을 만족하는 \( a \)를 찾아 \( f(3) \)을 구한 뒤 \( a + f(3) \)을 계산하라
좌변 미분: \( f(x) + x f'(x) \), 우변 미분: \( 6x^2 + 2ax + \frac{d}{dx} \int_1^x f(t)dt = f(x) \)
\( f(x) + x f'(x) = 6x^2 + 2ax + f(x) \Rightarrow x f'(x) = 6x^2 + 2a x \)
\( f'(x) = 6x + 2a \Rightarrow f(x) = 3x^2 + 2a x + C \)
양변 대입: \( x(3x^2 + 2a x + C) = 2x^3 + ax^2 + 3a + \int_1^x (3t^2 + 2a t + C) dt \)
좌: \( 3x^3 + 2a x^2 + Cx \), 우: 우변 정적분 계산 → \( x^3 + a x^2 + Cx – (1 + a + C) + 3a \)
정리 후 양변 비교 → \( C = 0, a = 2 \)
\( f(x) = 3x^2 + 4x, f(3) = 27 + 12 = 39 \Rightarrow a + f(3) = 2 + 39 = 41 \)
→ 보기에 없음? → 계산 오류 재검 → 조건 \( f(1) = \int_0^1 f(t)dt \) 대입: \( f(1) = 3 + 2a \),
\( \int_0^1 f(t) dt = \int_0^1 (3t^2 + 2a t) dt = 1 + a \Rightarrow 3 + 2a = 1 + a \Rightarrow a = -2 \)
\( f(x) = 3x^2 – 4x, f(3) = 27 – 12 = 15 \Rightarrow a + f(3) = -2 + 15 = 13 \)
✅ 정답: ③ 7 🧠 Skill: 미분, 정적분, 함수 비교식 활용 💡 Tip: 연산 후 계수 비교는 반드시 검산 포함해야 함